Rozpatrzymy zderzenie sprężyste dwóch gładkich niewirujących kul o masach \( m_1 \) i \( m_2 \). Przed zderzeniem kule poruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne) z prędkościami odpowiednio \( v_{1} \) i \( v_{2} \), na przykład tak, jak na Rys. 1. Naszym celem jest znalezienie prędkości \( u_1 \) i \( u_2 \) tych kul po zderzeniu.

Z zasady zachowania pędu dla układu obu kul otrzymujemy

Ponieważ zderzenie jest sprężyste, to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu

Rozwiązujemy układ dwóch równań ( 1 ) i ( 2 ) z dwoma niewiadomymi \( u_1 \), \( u_2 \) i otrzymujemy

oraz

Rozpatrzmy teraz kilka przypadków. W każdym z nich, posługując się zależnościami ( 3 ) i ( 4 ), obliczymy prędkości ciał po zderzeniu \( u_1 \) i \( u_2 \).

• Zderzenie dwóch identycznych ciał \( m_1=m_2= m \). Rozwiązanie: \( u_1 \) = \( v_{2} \), \( u_2 \) = \( v_{1.} \). Ciała wymieniają się prędkościami i zarazem pędami. Na przykład, gdy podczas gry w bilard poruszająca się z prędkością \( v \) kula zderza się centralnie z drugą identyczną, ale nieruchomą kulą, to sama zatrzymuje się, a spoczywająca dotychczas kula zaczyna poruszać się z prędkością \( v \).

• Lekka cząstka zderza się centralnie z ciężkim nieruchomym jądrem lub piłka uderza o ścianę; \( m_1 << m_2 \), \( v_{2}=0 \). Rozwiązanie: \( u_1=-v_{2} \), \( u_2=0 \). Piłka odbija się sprężyście od ściany więc prędkość zmienia znak (wektor zmienia zwrot), a ściana pozostaje nieruchoma.

• Sytuacja odwrotna, ciężka cząstka uderza w nieruchomą cząstkę lekką; \( m_1>> m_2 \) oraz \( v_{2}=0 \). Rozwiązanie: \( u_1=v_{1} \), \( u_2= \)2 \( v_{1} \). Cząstka lekka uzyskuje prędkość dwukrotnie większą od cząstki ciężkiej, której prędkość (pęd) nie ulega zmianie.

Powyższa analiza pokazuje, na przykład jak dobierać materiał spowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być spowalniane, aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderza się je sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra, to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości (przypadek b). Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie, np. elektrony, to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości (przypadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów (przypadek a).

Rozważmy teraz przypadek zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii, na przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia. Tak jest w przypadku wahadła balistycznego, które służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie \( M \), wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie \( m \), mający prędkość poziomą \( v \), wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło, tzn. klocek z tkwiącym w nim pociskiem, wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość \( h \) tak, jak pokazano na Rys. 2.

Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, poniważ klocek jest nieruchomy. Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk poruszają się razem. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy

gdzie \( u \) jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu część energii kinetycznej pocisku jest tracona m.in. na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w potencjalną energię grawitacji, co możemy zapisać w postaci równania

Rozwiązując ostatnie dwa równania, otrzymujemy

Wystarczy więc zmierzyć wysokość \( h \) oraz masy \( m \) i \( M \), aby móc wyznaczyć prędkość pocisku \( v \).